R taloustieteellisen tehtävän tukena

Esittelen nyt R:n käyttöä erään taloustieteellisen tehtävän kanssa. R:lla voi tehdä laskutoimituksia ja erityisen hyödyllinen se on kuvien tekemisessä. Tehtävä on seuraavanlainen: 

Hyödykkeen  X

  kysyntä D  on        p = 7 - q/2

  ja tarjonta S on      p = 3/4 + q/2

  määrää hyödykkeen  tasapainohinta ja kysytty  määrä.

Määrää myös suurin mahdollinen veron tuotto, jonka julkinen valta voi 

saada asettamalla hyödykkeelle  t:n suuruisen yksikköveron.

Huom. Käytän * merkkiä tarkoittamaan kertomista, eli 2*2 on kaksi kertaa kaksi. Vastaavasti ^ on potenssimerkki, eli 2^2 tarkoittaa kaksi potenssiin kaksi.

Tässä tehtävässä tulee asettaa p (kysyntä)=p (tarjonta), eli kun piirtää kysyntäkäyrän ja tarjontakäyrän, niin kohdassa p(kysyntä)=p(tarjonta) käyrät leikkaavat (kyseisellä hinnalla kysyntä on sama kuin tarjonta, joten markkinat ovat tasapainossa.

Asetetaan p(kysyntä)=p(tarjonta) ja ratkaistaan määrä q → 7-q/2=3/4+q/2 → q=25/4

Markkinoiden tasapainomäärä on siis 25/4 kappaletta hyödykettä. Markkinahinta saadaan nyt sijoittamalla saatu arvo q=25/4 kysyntäkäyrän- tai tarjontakäyrän yhtälöön (kumpikin tuottaa saman hinnan, koska ratkaisimme määrän q asettamalla ensin hinnat samaksi):

Sijoitetaan tasapainomäärä kysyntäkäyrän yhtälöön p=7-(25/4)*1/2 → p=(56/8)-(25/8) → p=31/8

Vastaus on siis: Hyödykkeen X tasapainohinta: p=31/8 ja Kysytty määrä: q=25/4

R:lla voidaan ratkaista tasapainohinta ja -määrä sekä luoda kuva markkinatasapainosta seuraavasti:

R-Koodi:

kysyntä <- function(q) { 7-(1/2)*q } #Kysyntäkäyrän funktio

plot(kysyntä,from=1,to=10,xlab="Määrä q",ylab="Hinta p",lwd=2) # Kuva kysyntäkäyrästä

tarjonta <- function(q) {3/4+(1/2)*q } # Tarjontakäyrän funktio

curve(tarjonta,add=TRUE,col="blue",xlab="Määrä",lwd=2) # Lisätään kuvaan tarjontakäyrän

legend("topright",c("Kysyntäkäyrä","Tarjontakäyrä"),lty=c(1,1),col=c("black","blue"),lwd=c(2,2))

g <- function(q) { 7-(1/2)*q-3/4-(1/2)*q } # Kysyntä=Tarjonta

uniroot(g,lower=1,upper=10) # Ratkaistaan edellinen funktio.

kysyntä(6.25) # Ratkaistaan tasapainohinta sijoittamalla tasapainomäärä kysyntäkäyrän funktioon

text(7.5,3.9,"(6.25,3.875)") # Lisätään kuvaan tasapainohinnan ja -määrän koordinaatit

Seuraavaksi ratkaistaan suurin mahdollinen veron tuotto, jonka julkinen valta voi saada asettamalla hyödykkeelle t:n suuruisen yksikköveron. Yksikkövero tarkoittaa, että jokaisesta myydystä tuotteesta maksetaan vero. Julkinen valta tietää kysyntäkäyrän (p=7-q/2) sekä tarjontakäyrän (p=3/4+q/2) ja on päättänyt asettaa veron yrityksille. Yritykset laittavat yksikköveron T tarjontakäyrän yhtälöön, eli yhtälö on nyt muotoa: p=3/4+q/2+T

Veron seurauksena tarjontakäyrä nousee siis veron verran ylös, jolloin kysyntä vähenee. Tästä aiheutuu se, ettei markkinahinta nouse veron verran. 

Ratkaistaan ensin tasapainomäärä, kun p(kysyntä)=p(tarjonta+vero). Tämän jälkeen muodostamme verotulojen funktion, jonka derivoimme veron T suhteen. Derivaatta asetetaan nollaksi, jolloin voimme ratkaista verotulot maksimoivan veron määrän. Verotulojen funktio on määrä*vero, eli jos vaihdettu määrä on 8 ja vero 1 niin valtio saa verotuloja 1*8=8. Haluamme siis maksimoida nuo verotulot. Valtio voi nostaa veroa esim. tuosta yhdestä eurosta kahteen euroon, mutta tällöin kysytty määrä vähenee, eli se ei olekaan enää tuo kahdeksan. Se, kuinka paljon kysyntä vähenee, riippuu kysyntäkäyrän muodosta. Kysynnän hintajousto liittyy tähän, eli jos kysyntä laskee hinnan noustessa suhteessa enemmän kuin hinta (joustava kysyntä), niin käytetty rahamäärä vähenee, ja täten myös verotulot tippuvat. Toistaalta, jos kysyntä vähenee hinnan nousteessa suhteessa vähemmän kuin hinta, niin käytetty rahamäärä kasvaa ja verotulot kasvavat (joustamaton kysyntä).

Eli nyt ratkaistaan tehtävä asettamalla p(kysyntä)=p(tarjonta+vero) ja ratkaistaan q →

7-q/2=3/4+q/2+T → q=25/4-T

Verotulojen funktio on qT eli kerrotaan yhtälön kummatkin puolet T:lla ja saadaan → qT=(25/4)T-T^2

Nyt meillä on verotulojen funktio, mutta emme tiedä, mikä veron määrä T maksimoi tämän funktion. Meidän täytyy derivoida verotulojen funktio veron T suhteen. Derivointi siis kertoo meille funktion käyttäytymisestä, eli jos derivaatta on positiivinen, niin itse funktio kasvaa. Derivaatan nollakohdassa derivaatan merkki vaihtuu, joten nämä ovat funktion maksimeja tai minimejä. Jos derivoimme verotulojen funktion T:n suhteen ja emme aseta derivaattaa nollaksi, niin emme tiedä, missä kohtaa funktio saa “ääriarvonsa” eli verotulot maksimoituvat.

Derivoidaan siis qt ja asetetaan derivaatta nollaksi. d(qT)=(25/4)-2T=0

Nyt voimme ratkaista yhtälöstä T:n → 2T=25/4 → T=25/8

Saamamme T on siis maksimiarvo, koska verotulojen funktion toinen derivaatta T:n suhteen on negatiivinen (-2)

Voimme katsoa verotulojen funktiosta verotulojen määrän tällä T:n arvolla. Se on 9,77

(qt=(25/4)*(25/8)-(25/8)^2=9,77)

Voimme myös ratkaista uuden markkinatasapainon hinnan ja määrän. Ratkaistaan ensin määrä q sijoittamalla T=25/8 yhtälöön q=25/4-T

eli yhtälö jonka saimme, kun asetimme p=p. Ratkaistaan: q=25/4-25/8 → q=25/8

Ja nyt voimme tarkistaa tasapainohinnan kysyntä- tai tarjontakäyrän yhtälöstä. Esim. kysyntäkäyrästä: p= 7-q/2 → p=7-(25/8)(1/2) → p=7-25/16 =5,44

Näemme siis, että veron takia uusi tasapainomäärä (25/4 > 25/8) on pienempi ja hinta suurempi 31/8<5,44) kuin ennen veroa.

On myös hyvä havaita, että tuottajien saama hinta on markkinahintaa pienempi, koska he maksavat veron. Tuottajien saama hinta on siis P-T. Hinnan voimme ratkaista tuottajien tarjontakäyrästä → P=3/4+q/2+T → P-T=3/4+q/2

Tasapainossa määrä oli 25/8, joten tuottajien saama hinta on P-T=3/4+25/16=37/16

Alla vielä Kuva uudesta tasapainosta ja kuvan R-koodi.

R-koodi:

kysyntä <- function(q) { 7-(1/2)*q }

plot(kysyntä,from=1,to=10,xlab="Määrä q",ylab="Hinta p",lwd=2)

tarjonta <- function(q) {3/4+(1/2)*q }

curve(tarjonta,add=TRUE,col="blue",xlab="Määrä",lwd=2)

legend(6,6.55,c("Kysyntäkäyrä","Tarjontakäyrä","Tarjontakäyrä(T)"),lty=c(1,1,1),col=c("black",

"blue","red"),lwd=c(2,2,2))

g <- function(q) { 7-(1/2)*q-3/4-(1/2)*q }

uniroot(g,lower=1,upper=10)

kysyntä(6.25)

text(7.5,3.9,"(6.25,3.875)")

g <- function(q) { 7-(1/2)*q-3/4-(1/2)*q-25/8 } #Kysyntä=Tarjonta

uniroot(g,lower=1,upper=10) #Uusi markkinatasapainomäärä

kysyntä(3.125) # Uusi markkinatasapainohinta

tarjontaverolla <- function (q) {3/4+(1/2)*q+25/8 }

curve(tarjontaverolla,add=TRUE, col="red",lwd=2) # Lisätään uusi tarjontakäyrä(T)

text(4.45,5.45,"(3.125,5.438)")